|
-🧔 Suma lui Gauss este un mare... "babau" 😊. Este una dintre primele formule cu care elevul se intalneste. As zice ca ea anunta trecerea de la aritmetica la algebra. Nu va faceti griji, este normal sa aveti dificultati! Daca nu va veti da batuti, dupa ceva timp, nu veti mai putea pricepe ce era atat de greu la aceasta suma... De fapt, cam asta patim noi, profii, nu ne mai amintim cat de greu era si avem tendinta de a nu-i mai intelege nici pe altii 😊. De remarcat, de asemenea, faptul ca suma lui Gauss se preda inainte de factor comun, inainte de fractii, lucru care nu ne ajuta prea mult... Voi incerca sa simplific si sa exemplific dar, sa nu uitam, pentru insusirea unor notiuni noi este nevoie si de... TIMP!
Un exemplu de inceput
Voi incepe cu un exemplu care nu este suma lui Gauss:
Calculati: 25 X 125 X 4 X 8
Ma pot apuca de lucru: 25 X 125 = 3125; 3125 X 4 = 12500; 12500 X 8 = 100000
Am munict ceva... Dar, inmultirea nu e comutativa? Comuta... cum? Este si comutativa si asociativa deci, pe scurt, putem face calculele in orice ordine dorim...
Pai, de ce sa le facem in alta ordine si sa nu le facem una cate una ca niste elevi cuminti???
Putem si asa dar... daca schimbam ordinea, nu ne va fi oare mai usor? Sa vedem:
25 X 125 X 4 X 8 = 25 X 4 X 125 X 8 = (25 X 4) X (125 X 8) = 100 X 1000 = 100000
Am muncit mai putin! Daca putem ajunge la acelasi rezultat cu un efort mai mic... de ce sa nu facem asa?
Suma lui Gauss - numar par de termeni
Pornim de la cel mai simplu exemplu:
1 + 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10
Avem doar adunari, le putem face in orice ordine dorim, de exemplu:
1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 4) + (2 + 3) = 5 + 5 = 2 X 5 = 10
Pai, nu am muncit mai putin... de ce sa facem asa?
Mda, sa mai vedem un exercitiu. Am ales un alt numar par de termeni: 6.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
In loc sa calculam in ordinea "cuminte", facem perechi: (primul cu ultimul), (al doilea cu pen-ultimul) si tot asa:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) = 7 + 7 + 7 = 3 X 7
Observam ca am putut forma 6 : 2 = 3 perechi, fiecare avand suma egala cu 6 + 1 = 7, deci: 3 X 7 = 21
Mmmm, parca e ceva mai putin de munca... Sa mai crestem "trenuletul":
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 11 + 11 + 11 + 11 + 11
Am facut 10:2 = 5 perechi. Fiecare pereche face 11. Asta inseamna 5 X 11 = 55.
E mult mai putin de munca...
Si acum... 100 😊
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 am pus si eu "puncte, puncte", doar nu vreti sa le scriu pe toate 😊...
Pai... tot asa, facem perechi:
(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + ...
Cate perechi? 100 de numere, impartit la 2 = 50 de perechi. Si cat face fiecare pereche? 100 + 1 = 101. Pai, asta inseamna 50 X 101 = 5050
Daca punem impreuna ce am scris mai sus: avem 100 : 2 perechi, respectiv, fiecare pereche face 100 + 1, putem scrie, intr-o singura "bucata":
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = (100 : 2) X (100 + 1) = 50 X 101 = 5050
Colegul meu nu a ajuns nici macar la jumatate folosind metoda "cuminte"...
Am putea generaliza formula? Adica cum? De exemplu, daca pornim de la 1 si mergem pana la... oricat vreau eu, pana la un numar par caruia ii dau numele "n":
1 + 2 + 3 + ... + n
Pai, vor fi n : 2 perechi. Fiecare pereche va face n + 1. Deci, putem scrie:
1 + 2 + 3 + ... + n = (n : 2) x (n + 1)
Suma lui Gauss - numar impar de termeni
Din nou, incepem cu exemple cat mai simple.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (1 + 5 ) + (2 + 4) + 3
Asta e,... 3 nu are pereche... Fiecare pereche face 5 + 1 = 6. Sa nu uitam de singuraticul 3 care... face cat jumatate de pereche 6 : 2 = 3.
Putem calcula direct asa sau, putem numara cate jumatati de pereche avem. Fiecare pereche inseamna doua jumatati + numarul nepereche... fix 5 jumatati de pereche
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (1 + 5 ) + (2 + 4) + 3 = 2 x 3 + 2 x 3 + 3 = 5 x 3 = 15
Pentru un numar mai mare, aceeasi tehnica:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 +6) + 5
Din nou, fiecare pereche face 9 + 1 si... mai ramane singuraticul, care e tot 10:2, adica jumatate de pereche.
Daca vrem sa transformam in produs, numaram jumatatile de pereche: 9 jumatati
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 9 X 5 = 45
Sa incercam si un numar cu adevarat mare:
1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + jumatate de pereche
Cat face fiecare jumatate de pereche? (99 + 1) : 2 = 50. Cate jumatati de pereche avem (cu tot cu singuraticul)? 99
1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 = 99 X 50 = 4950
Am putea generaliza formula si in acest caz? Adica cum? Tot asa, daca ma duc de la 1 pana la... oricat vreau eu, pana la un numar impar caruia ii dau numele "n":
1 + 2 + 3 + ... + n
Pai, vor fi n jumatati de pereche. Fiecare jumatate de pereche va face (n + 1) : 2. Deci, in total:
1 + 2 + 3 + ... + n = n X (n + 1) : 2
Concluzii
- In ambele cazuri (par si impar) obtinem aceeasi formula: 1 + 2 + 3 + ... + n = n x (n + 1) : 2
- Ce ne facem daca uitam formula? Facem perechi... Daca numarul este par: n:2 perechi, daca este impar: ramane mijlocul ca jumatate de pereche... asa cum am discutat putin mai sus. E vreo problema? NU! Chiar daca am uitat formula, ne-am atins scopul: nu ne apuca dimineata calculand suma primelor n numere prin "metoda elevului cuminte".
- Ce ne facem daca primim urmatoarea tema: 2 + 4 + 6 + ... + 100? Daca stim sa dam factor comun, scapam usor: 2 x (1 + 2 + ... + 50). Daca nu am ajuns la lectia factor comun (si, din ce am vazut eu, cam asa se intampla), putem rezolva problema tot prin formarea de perechi: (2 + 100) + (4 + 98) + (6 + 96) + ...
|