Termen necunoscut (Ecuatii)
Home
-🧔 Multi elevi, mai ales in perioada de inceput, se confrunta cu dificultati semnificative legate de "termenul necunoscut". Uneori, adultii trec repede peste notiunile "simple" uitand ca, pentru elevi, multe lucruri sunt foarte noi si abstracte. In acest context, mi-am propus sa clarific anumite aspecte specifice, intr-o abordare cat mai intuitiva.
Elevii (unii dintre ei care abia au invatat numerele) sunt bombardati cu semne (potrivit studiilor psihologice, gandirea abstracta incepe sa se formeaza in jurul varstei de 11-12 ani [Jean Piaget]), la care se mai adauga si... litere.
Sa incepem cu... inceputul:
Ce inseamna semnul = ?
Desi ar putea parea ca "=" exista dintotdeauna, el a fost introdus in 1557 de catre Robert Recorde, cele doua linii paralele fiind un simbol al egalitatii.
Eu as mai adauga faptul ca, fiind doua linii orizontale, ne putem gandi la o "balanta aflata in echilibru". Nu, nu vorbim despre zodii 😊!...
Balanta arata cam asa:
Membrul Stang = Membrul Drept
Ce inseamna aceasta "balanta in echilibru"?
Inseamna ca trebuie sa gasim aceeasi valoare atat pe "talerul" din stanga, cat si pe cel din dreapta.
Daca una din parti este mai mare, balanta se inclina si semnul "=" isi pierde valabilitatea!
Exemple de egalitati: 3 = 3; 0 = 0; 1257 = 1257
Exemple de inegalitati: 3 <> 5; 10 <> 7; 1257 <> 10238
Ce se intampla daca modificam valorile "asezate" pe balanta?
Vom porni de la un exemplu simplu:
3 = 3
Adunare
Daca adaugam 2 pe talerul din stanga, balanta se inclina in partea stanga. NU MAI ESTE IN ECHILIBRU!
2 + 3 > 3
Ce e de facut???
Adaugam 2 si pe talerul din dreapta! Acum balanta este din nou in echilibru:
2 + 3 = 3 + 2
------------------------------------------------------------------------------
Scadere
Dar, daca scoatem doua unitati (scadem 2) de pe talerul din... dreapta? Balanta se inclina... tot in partea stanga.
3 > 3 - 2
Stiti deja...
Scoatem/scadem 2 si de pe talerul din stanga! Acum balanta este din nou in echilibru:
3 - 2 = 3 - 2
------------------------------------------------------------------------------
Inmultire
Daca dublam membrul drept?... Balanta se inclina acum in partea dreapta.
3 < 3 x 2
Ce e de facut???
Trebuie sa dublam si membrul stang...
3 x 2 = 3 x 2
------------------------------------------------------------------------------
Impartire
Dar, daca micsoram de 3 ori talerul din... stanga? Balanta se inclina... tot in partea dreapta.
3 : 3 < 3
Stiti deja...
Micsoram de 3 ori si membrul drpet! Acum balanta este din nou in echilibru:
3 : 3 = 3 : 3
Ce se intampla daca pe balanta avem un... termen necunoscut?
2 + ? = 5
Adica... ce numar ar trebui sa punem in loc de "?" pentru ca balanta sa ramana in echilibru?
Stiu ca se vede imediat ca e vorba de 3, dar la numere mai mari nu mai este asa de simplu. Sa ne prefacem ca nu vedem solutia 😊.
STRATEGIE: daca facem in asa fel incat sa ramana doar necunoscuta pe unul dintre cele doua talere, pe celalalt taler vom avea... chiar VALOAREA NECUNOSCUTEI!
Simplu! Scadem 2 de pe talerul din stanga. Atentie! Balanta se dezechilibreaza, trebuie sa scadem 2 si din membrul drept!
2 + ? - 2 = 5 - 2
Obtinem:
? = 3
------------------------------------------------------------------------------
Ca sa ne fie mai usor, am putea sa-i dam un nume numarului necunoscut, sa nu-i mai zicem "?". Nici mie nu mi-ar placea sa ma numesc "?" 😊. Putem sa-i dam orice nume dorim, dar e mai simplu sa fie un nume scurt, de exemplu "n", de la numar necunoscut.
n - 3 = 5
Vrem sa aflam ce numar putem pune in locul lui n astfel incat balanta sa ramana in echilibru.
Vom aplica aceeasi strategie: n trebuie sa ramana singur pe taler!
Simplu! Adaugam 3 in stanga. Nu uitati, daca adaug 3 in stanga, balanta se inclina! Trebuie sa adaugam 3 si in... spuneti voi!
n - 3 + 3 = 5 + 3
Obtinem:
n = 8
------------------------------------------------------------------------------
Acum chiar ca o sa va incurc:
10 - n = 6
Problema este ca s-ar putea sa nu stim inca numere negative... Daca scapam de 10, ramanem cu -n...
Dar daca l-am muta pe n pe talerul din dreapta?
Simplu, in doi pasi: intai adaugam n in stanga. Balanta se dezechilibreaza, deci trebuie sa il adaugam si in dreapta. Si ce daca n este necunoscut?... Putem sa-l adugam/scadem si pe el.
10 - n + n = 6 + n
10 = 6 + n
Si acum? Pai, acum, ca sa-l lasam singurel pe n, trebuie sa scapam de 6.
10 - 6 = 6 + n - 6
Obtinem:
4 = n
Si ce daca n este in membrul drept? 4 = n inseamna acelasi lucru cu n = 4. Balanta ramane in echilibru!
------------------------------------------------------------------------------
2 x n = 8
Ce ne facem aici? Pai, cum am discutat mai devreme... Daca micsoram de 2 ori membrul stang, trebuie sa-l micsoram, tot de doua ori, si pe cel drept:
2 x n : 2 = 8 : 2
n = 4
------------------------------------------------------------------------------
n : 3 = 5
Aici... inmultim cu 3... evident, ambii membri!
n : 3 x 3 = 5 x 3
n = 15
------------------------------------------------------------------------------
10 : n = 5
Mare atentie aici! n trebuie sa fie diferit de 0! Impartirea la 0 nu are sens!
10 : n x n = 5 x n
10 = 5 x n
10 : 5 = 5 x n : 5
2 = n
n = 2
La fiecare pas, balanta ramane echilibrata!
Exercitii... combinate
2n + 6 = 16
Vom folosi aceeasi strategie:
- Termenul necunoscut trebuie sa ramana singur intr-unul dintre cei doi membri
- La fiecare pas, balanta trebuie sa ramana echilibrata
2n = 10
2n : 2 = 10 : 2
n = 5
Pentru expertii in numere negative 😊
Sa reluam putin exercitiul anterior:
2n + 6 = 16
Ne urmam strategia: termenul necunoscut trebuie sa ramana singur in membrul sau => scadem 6 si din stanga, dar si din dreapta
2n + 6 - 6 = 16 - 6
Sau, acelasi lucru:
2n = 16 - 6
Observam ceva: pare ca 6 a fost obraznic si a sarit din stanga in dreapta dar, dupa salt... si-a schimbat semnul din + in -
Desi cele doua moduri de a privi lucrurile sunt echivalente, varianta saltului cu schimbare de semn e ceva mai rapida, motiv pentru care este preferata (la examene, timpul este limitat).
------------------------------------------------------------------------------
Sa mai luam un exemplu:
2n + 15 = 63 - n
15 trece din membrul stang in membrul drept si isi schimba semnul din + in -
2n = 63 - n - 15
Este randul lui n sa sara din membrul drept in membrul stang, schimbandu-si semnul din - in +
2n + n = 63 - 15
3n = 48
n = 16